lunes, 17 de mayo de 2010

MOVIMIENTO DE RODAR

Es el movimiento de un cuerpo (un aro, un cilindro o una esfera) que rueda a lo largo de un plano inclinado.
Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son:

1.-el peso
2.-la reacción del plano inclinado
3.-la fuerza de rozamiento en el punto de contacto entre la rueda y el plano.

Descomponemos el peso en una fuerza a lo largo del plano y otra perpendicular al plano inclinado. las ecuaciones del movimiento son la siguientes:

Movimiento de traslación del c.m.

mg·senq -Fr=mac

Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.

FrR=Ica
Relación entre el movimiento de traslación y rotación (rueda sin deslizar)

ac=a R
Si conocemos el ángulo de inclinación q y el momento de inercia Ic del cuerpo que rueda, calculamos ac y el valor de la fuerza de rozamiento Fr.

Si deseamos calcular la velocidad del cuerpo después de haber recorrido una longitud x a lo largo del plano inclinado, partiendo del reposo, empleamos las ecuaciones de la del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
La velocidad final vc del c. m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado es
Siendo h la altura de partida del cuerpo referida a la posición final, h=x·senq.

BALANCE DE ENERGIA:

La energía cinética de un cuerpo que rueda es la suma de la energía cinética de traslación del c.m. y la energía cinética de rotación alrededor del c.m.

Trabajo de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
El trabajo total de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que rueda es la suma del trabajo en el movimiento de traslación más el trabajo en el movimiento de rotación

W=Wt+Wt


El trabajo en el movimiento de traslación es
Wt=(mgsenq -Fr)x=mgh-Frx
El trabajo en el movimiento de rotación es Wr=Mf =FrRf =F

El trabajo total es W=mgh

Como vemos la fuerza de rozamiento en el movimiento de rodar produce dos trabajos de la misma magnitud pero de signos opuestos. Esta es la razón por la que no tenemos que incluir el trabajo de la fuerza de rozamiento en el balance de energía.
El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo modifica su energía cinética (de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.)
La velocidad final vc del c. m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado es la misma que hemos calculado a partir de la dinámica.
El cuadrado de la velocidad del c.m. vc es proporcional a la altura inicial h. Podremos comprobar esta relación en el applet al final de esta página.

MOVIMIENTO RODAR DE DEZLIZAMIENTO:

Cuando un cuerpo rueda sin deslizar, la fuerza de rozamiento( Fr) es desconocida y se calcula resolviendo las ecuaciones del movimiento, tal como hemos visto en el apartado movimiento de rodar sin deslizar
Para que haya movimiento de rodar sin deslizar se tiene que cumplir que Fr£ µs·N
Donde µs es el coeficiente de rozamiento estático que depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto, la rueda y el carril, y N la reacción del plano inclinado N=mg·cosq .
El cuerpo rueda por el plano inclinado sin deslizar hasta un determinado ángulo límite, aquél en el que se cumple.

ECUACIONES DE LA DINAMICA:

Si no se cumple esta condición el cuerpo rueda y desliza, la fuerza de rozamiento toma el valor f=µk·N. Donde µk es el coeficiente de rozamiento dinámico,
Las ecuaciones del movimiento del centro de masa del cuerpo son ahora:

Movimiento de traslación del c.m.

mg·senq -µk·mg·cosq =mac.

Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.
µk·mg·cosq ·R=Ic·a

Despejamos ac y a

Se deja de cumplir la condición de rodar sin deslizar ac=a R.

La velocidad final vc del c. m. del cuerpo al llegar al final del plano inclinado después de haber recorrido una distancia x, o haber descendido una altura h.

La velocidad angular w del cuerpo después de haber girado un ángulo f

BALANCE ENERGETICO:

La energía inicial del cuerpo es la energía potencial (mgh)
la energía final del cuerpo es la suma de la energía cinética de traslación del c.m., más la energía cinética de rotación alrededor del c.m.

Trabajo Wr de la fuerza de rozamiento f=µk·mg·cosq
En el movimiento de traslación
- f·x
En el movimiento de rotación
f·R·f
El trabajo total es:

El trabajo de la fuerza de rozamiento modifica la energía del cuerpo, y es igual a la diferencia entre la energía final e inicial del cuerpo, Wr=Ef-Ei
Se anula el trabajo de la fuerza de rozamiento correspondiente al movimiento de rotación f·R·f con la energía cinética de rotación. Obtenemos la misma expresión para la velocidad del c.m. vc que la deducida a partir de las ecuaciones de la dinámica.

VELOCIDAD CENTRAL DE C.M DEL CUERPO EN FUNCION DE LA ALTURA:

Si el ángulo del plano inclinado θ≤θc el cuerpo rueda sin deslizar
la velocidad final vc que alcanza el cuerpo en función de su altura inicial h
el cuadrado de la velocidad del c.m. es proporcional a la altura h
si el ángulo del plano inclinado θ>θc el cuerpo rueda y desliza
siendo x la distancia fija que recorre el cuerpo a lo largo del plano inclinado
El ángulo crítico se calcula mediante la fórmula

Ejemplo:

El cuerpo es un cilindro k=0.5
el coeficiente μ= μs= μk=0.15

Distancia que recorre el cuerpo a lo largo del plano inclinado x=1 m
El ángulo crítico θc =24.2º
En la figura, se representa en el eje horizontal las alturas h de partida del cuerpo h=x·senθ. En el eje vertical, los cuadrados de la velocidad del c.m. del cuerpo.
La recta de color rojo, muestra el comportamiento del cilindro cuando rueda sin deslizar, el ángulo del plano inclinado θ≤θc
La curva de color azul, muestra el comportamiento del cilindro cuando rueda y desliza, el ángulo del plano inclinado θ>θc

REFERENCIAS:

Basta, Di Gennaro, Piccciarelli. A desktop apparatus for studying rolling motion. Phys. Educ. 34 (6) November 1999, pp. 371-375

Carvalho P. S., Sampaio e Sousa A. An inexpensive technique to measure coefficients of friction with rolling solids. The Physcis Teacher, Vol 43, November 2005, pp. 548-550



MARTINEZ MIREYA MALDONADO NELLY

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